Le principe de la saisie du modèle est toujours le même : la seule différence par rapport au modèle de croissance logistique est qu'il y a une variable et quatre paramètres de plus.
Un isocline se définit comme l'ensemble des points tels qu'une des variables du modèle ait un taux de croissance nul. Un isocline est donc défini par :
Pour saisir un isocline, dans l'onglet Fichier modèle, cliquez sur le bouton <isocline>. Dans la figure ci-dessous on saisit un isocline pour la variable n1, le taux de croissance dn1/dt de la variable en question étant nul pour n1=0 ou bien pour n1=K1 - a21*n2.
Pour saisir un point d'équilibre, dans l'onglet Fichier modèle, cliquez sur le bouton <equilibre>. Dans la fenêtre qui apparaît, saisissez alors les valeur de chaque coordonnées du point.
Pour saisir la matrice jacobienne d'un modèle, dans l'onglet Fichier modèle, cliquez sur le bouton <jacobienne>. Dans la fenêtre qui apparaît un tableau vous permet de saisir les composante de la matrice Jacobienne.
Voici le code produit de la sorte et qui correspond au modèle de compétition de Lotka et Volterra avec ses isoclines, ses points d'équilibre et sa matrice Jacobienne. Notez que l'ordre dans lequel les équations sont écrites correspond à l'odre dans lequel les variables ont été saisies. De même pour les lignes et colones de la matrice jacobienne. Cet ordre est automatiquement respecté si vous utilisez l'interface de saisie, mais pensez-y si vous modifiez le code à la main !
<modele>
<nom> Modèle de compétition de Lotka et Volterra</nom>
<variable> n1 = 1.0 n2 = 1.0 </variable>
<parametre> r1 = 1.0 K1 = 100 a21 = 0.75 r2 = 1.0 K2 = 100 a12 = 0.75</parametre>
<equation>
n1*r1*(1-n1/K1-a21*n2/K1)
n2*r2*(1-n2/K2-a12*n1/K2)
</equation>
<isocline var=n1>
n1 = 0
n1 = K1 - a21*n2
</isocline>
<isocline var=n2>
n2 = 0
n2 = K2 - a12*n1
</isocline>
<eq>0,0</eq>
<eq>0,K2</eq>
<eq>K1,0</eq>
<eq>(K1-a21*K2)/(1-a12*a21),(K2-a12*K1)/(1-a12*a21)</eq>
<jacobienne>
r1-2*n1*r1/K1-n2*r1*a21/K1 , -n1*r1*a21/K1
-n2*r2*a12/K2 , r2-2*n2*r2/K2-n1*r2*a12/K2
</jacobienne>
</modele>
On peut afficher les résultats de simulation comme vu précédemment. Comme on suit cette fois-ci la dynamique de deux variables, chaque simulation est représentée par deux courbes de couleurs différentes, une pour chaque variable. À droite du graphique, les curseurs indiquent les points d'équilibre saisis. Si le curseur est plein, le point d'équilibre est stable (ce qui est le cas ici). Si le curseur est vide, le point d'équilibre est au contraire instable.
On peut afficher les même résultats dans un graphique en plan de phase. Pour ceci, cliquez sur Graphique puis sur Type d'affichage et choisissez plan de phase. Vous pouvez aussi cocher la case plan de phase en dessous du graphique.
Le graphique représente alors une variable en fonction de l'autre. Les isoclines s'affichent avec une couleur correspondant à la variable dont le taux de croissance s'annule. Les points d'équilibre sont indiqués par des points blancs s'ils sont stables et par des points noirs sinon. Si la matrice Jacobienne n'est pas spécifiée, les points sont affichés en gris. Les flèches indiquent la direction initiale des trajectoires.
Dans l'affichage en plan de phase, le curseur change de forme lorsque vous déplacez la souris au dessus du graphique. Si vous cliquez alors que le curseur a une forme de croix, une fenêtre apparaitra pour vous demander si vous voulez ajouter une trajectoire en prenant comme valeurs initiales des variables celles correspondant au point où vous avez cliqué. Vous pouvez ainsi ajouter rapidement des trajectoires sans avoir à saisir manuellement les conditions initiales.