Construire des matrices grâce à la balise <matrice>

Introduction

Dans certains modèles, des matrices sont utilisées qui possèdent une structure répétitive et sont de grande taille. Plutôt que de saisir les éléments de la matrice un à un, il peut alors être utile d'utiliser une balise <matrice>. Un exemple concrêt d'utilisation est donnée dans l'exemple n°4 : les matrices de Leslie.

 <matrice>
  <ligne l=1 c=2:-1>f</ligne>
  <diagonale pos=-1>s</diagonale>
 </matrice>

Le code ci-dessous peut se lire comme suit : on construit une matrice dont les éléments sont par défaut des zéro (c'est le sens du "tag" defaut=0 dans la balise). La taille de la matrice n'est pas spécifiée. La matrice ainsi définie est carrée et sa dimension est le nombre de variables du modèle. On remplace ensuite tous les zéros de la première ligne sauf le premier par le paramètre f. Puis on remplace les zéros situés sous la diagonale par le paramètre s.

L'avantage de ce codage est que l'on peut redimensionner le système étudié simplement en changeant le nombre de variables du modèle, sans même à avoir à retoucher à la matrice !

Les balises utilisées pour construire une matrice

• <matrice defaut=x nl=x nc=x n=x></matrice>
  définit la matrice. La taille de la matrice peut être spécifiée dans la balise par nl (nombre de lignes) nc (nombre de colones) ou n (taille d'une matrice carrée). Si la taille n'est pas spécifiée, la matrice sera carrée et aura pour dimension le nombre de variables. La valeur par défaut avec laquelle la atrice sera remplie est indiquée dans la balise par le tag defaut. Si elle n'est précisée, la matrice sera remplie de zéro.
• <ligne l=x c=x:x> </ligne>
  définit une ligne de la matrice. La position de la signe est indiquée par les tags l (pour ligne) et c (pour colone). Ainsi <ligne l=1 c=2:-1>f</ligne> place le paramètre f sur la première ligne de la matrice à partir de la 2ème colone et jusqu'à la dernière.
• <colone l=x:x c=x></colone>
  définit une ligne de la matrice. Le positionnement est définit par l et c. Ainsi <colone l=2:-1 c=1>s</ligne> place le paramètre s sur la première colone de la matrice à partir de la 2ème ligne et jusqu'à la dernière.
• <bloc l=x:x c=x:x nl=x nc=x></bloc>
  définit un bloc de la matrice. Le positionnement est définit par l et c. Ainsi <bloc l=2:-1 c=2:-1>z</bloc> place le paramètre z sur les cases d'un bloc couvrant toute la matrice sauf les premières ligne et colone. Alternativement, on peut définir l'emplacement de la première case du bloc par l et c puis indiquer le nombre de lignes du bloc par nl et le nombre de colones par nc. Dans une matrice carrée de taille 10, la commande <bloc l=2 c=2 nl=9 nc=9>z</bloc> produirait la même chose que la première commande présentée.
• <diagonale pos=x></diagonale>
  définit une diagonale. La position de la diagonale est déterminée par pos. pos=0 correspond à la diagonale de la matrice (de la première case de la pemière ligne à la dernière de la dernière). <diagonale pos=-1> correspond à une diagonale placée une case en dessous de la diagonale de la matrice (voir l'exemple développé ci-dessus).
• <operation type=x l=x:x c=x:x></operation>
  définit une opération qui s'applique à certains éléments de la matrice. Les opérations peuvent être l'addition (<operation type=+>), la soustraction (<operation type=->), la multiplication (<operation type=*>) et la division (<operation type=/>). Les éléments de la matrice auxquels l'opération s'appliquent sont définis par l et c, comme dans la commande bloc. La commande <operation type=+ l=2:-1 c=2:-1>z</bloc> ajouterait donc la quantité z à toutes les composantes de la matrice sauf celles des premières ligne et colone.

Utilisation des indices pour définir les composants de la matrice

Dans certains modèles matriciels, on a besoin de définir des composants dont la valeur dépend de la position. On peut pour se faire utiliser dans la définition d'une matrice les indices l (le numéro de ligne), c (le numéro de ligne), nl (le nombre de lignes), nc (le nombre de colones), et enfin n (la taille de la matrice lorsqu'elle est carrée). Chacun de ces indices est remplacé par sa valeur lorsqu'il fait partie d'une expression précédée du symbole &.

Pour illustrer cette possibilité de façon plus concrête, nous allons avoir recours au modèle de dérive de Wright-Fisher (voir exemple n°3). Soit une population de 50 individus, chaque individu pouvant être porteur de l'allèle A en une ou deux copies. La population peut donc comprendre de 0 à 50 copies de A. Le vecteur p contient les proportions de population dans chacune de ces classes de fréquence allélique (p[0] est donc la proportion de populations ayant perdu l'allèle A).

<modele>
 <variable>p[51] = 0 1 0 </variable>
 <equation>
  <matrice>
   <bloc l=1:-1 c=1:-1>dbinomiale(&(l-1),&((c-1)/(n-1)),&(n-1)) </bloc>
  </matrice>
 </equation>
</modele>

Dans ce modèle, les probabilités de transition d'une classe de fréquence à une autre sont données par une distribution binomiale. dbinomiale(&(l-1),&((c-1)/(n-1)),&(n-1)) correspond donc à la probabilité de tirer au hasard l-1 copies de l'allèle A dans une population de taille n-1 où la fréquence de cet allèle est (c-1)/(n-1). Pour l=1 et c=10 cette expression sera, au moment du chargement du modèle, transformée en dbinomiale(0,0.2,50).

Les indices sont aussi utilisés pour définir des sommes et des produits dont ont ne peut pas définir a priori le nombre de termes.

Finalement, les balises matrices peuvent être utilisées en dehors du cas des modèles matriciels. L'exemple ci-dessous illustre ce type de possibilité...

<modele>
<nom>Croissance logistique stochastique</nom>
<variable>n[0:100]=0 0 0 0 0 0 1 0</variable>
<parametre>f=2 m=0.1</parametre>
<equation>
 <matrice nc=1 defaut=0>
  <operation type=+ l=1:-2 c=1>m*&l*n[&l]</operation>
  <operation type=+ l=2 c=1>n[&(l-2)]*&(l-2)*f*(1-&(l-2)/&(nl-1))</operation>
  <operation type=- l=2:-2 c=1>n[&(l-1)]*&(l-1)*f*(1-&(l-1)/&(nl-1))</operation>
  <operation type=- l=2 c=1>m*&(l-1)*n[&(l-1)]</operation>
 </matrice>
</equation>
</modele>

... et permet de produire le joli graphique ci-dessous. À vous d'interpréter !